Для решения данного интеграла используем метод интегрирования по частям:

∫(x^2 + 7)e^(2x)dx

Выбираем:
u = x^2 + 7 => du = 2x dx
dv = e^(2x)dx => v = (1/2)e^(2x)

Подставляем в формулу интегрирования по частям:
= uv - ∫v du
= (x^2 + 7)(1/2)e^(2x) - ∫(1/2)e^(2x) * 2x dx
= (1/2)x^2e^(2x) + 7/2e^(2x) - ∫xe^(2x)dx

Теперь решаем оставшийся интеграл с помощью интегрирования по частям:
Выбираем:
u = x => du = dx
dv = e^(2x)dx => v = (1/2)e^(2x)

= (1/2)x^2e^(2x) + 7/2e^(2x) - ((1/2)xe^(2x) - ∫(1/2)e^(2x)dx)
= (1/2)x^2e^(2x) + 7/2e^(2x) - (1/2)xe^(2x) + (1/4)e^(2x) + C

Где C - произвольная постоянная.
Итак, ответ:
∫(x^2 + 7)e^(2x)dx = (1/2)x^2e^(2x) + 7/2e^(2x) - (1/2)xe^(2x) + (1/4)e^(2x) + C