Домашнее задание по алгебре Имеется 8 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики , так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашей разница между количеством шариков разных цветов в каждой каробке (если они не равны, то из большего вывел меньшее). Эти числа написал на коробках. Оказалось, что было написано 8 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может сумарно во всех коробках, если известно, что общее количество красных шариков такое же, как общее количество синих?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть в ( i )-й коробке находится ( b_i ) синих шариков и ( r_i ) красных шариков. По условию, в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик, поэтому ( b_i \geq 1 ) и ( r_i \geq 1 ).

Разница между количеством шариков разных цветов в ( i )-й коробке равна ( |b_i - r_i| ). Поскольку Коля записал 8 различных чисел, разница ( |b_i - r_i| ) может принимать значения от 0 и больше, но так как в каждой коробке есть хотя бы один шарик каждого цвета, минимальное значение разницы составляет 1.

Таким образом, разницы ( |b_i - r_i| ) могут принимать значения от 1 до 8:

( |b_1 - r_1| = 1 )( |b_2 - r_2| = 2 )( |b_3 - r_3| = 3 )( |b_4 - r_4| = 4 )( |b_5 - r_5| = 5 )( |b_6 - r_6| = 6 )( |b_7 - r_7| = 7 )( |b_8 - r_8| = 8 )

Для максимизации числа красных и синих шариков в каждой коробке, определим, как распределить столь требуемые различия. Пусть ( b_i ) будет больше ( r_i ) для ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ), чтобы не получать отрицательных разниц. В этом случае:

Пусть ( b_1 = 2, r_1 = 1 ) ( \rightarrow |2 - 1| = 1 ) Пусть ( b_2 = 3, r_2 = 1 ) ( \rightarrow |3 - 1| = 2 ) Пусть ( b_3 = 4, r_3 = 1 ) ( \rightarrow |4 - 1| = 3 ) Пусть ( b_4 = 5, r_4 = 1 ) ( \rightarrow |5 - 1| = 4 ) Пусть ( b_5 = 6, r_5 = 1 ) ( \rightarrow |6 - 1| = 5 ) Пусть ( b_6 = 7, r_6 = 1 ) ( \rightarrow |7 - 1| = 6 ) Пусть ( b_7 = 8, r_7 = 1 ) ( \rightarrow |8 - 1| = 7 ) Пусть ( b_8 = 9, r_8 = 1 ) ( \rightarrow |9 - 1| = 8 )

Теперь посчитаем общее количество шариков:

Общее количество синих шариков = ( 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44 )Общее количество красных шариков = ( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8 )

Итак, общее количество шариков = ( 44 + 8 = 52 ).

Таким образом, минимальное количество шариков во всех коробках равно ( 52 ).