Пусть натуральное число n не делится на 3. Доказать, что число n^2-1 делится на 3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение от противного.

Предположим, что n^2 - 1 не делится на 3. Тогда остаток от деления n^2 на 3 будет равен 1.

Так как n не делится на 3, то он имеет остаток 1 или 2 при делении на 3.

Если остаток от деления n на 3 равен 1, то n = 3k + 1 для некоторого целого числа k. Тогда n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1. Однако остаток от деления n^2 на 3 равен 1, а не 0, противоречие.

Если остаток от деления n на 3 равен 2, то n = 3k + 2 для некоторого целого числа k. Тогда n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1. Опять же, остаток от деления n^2 на 3 равен 1, а не 0, противоречие.

Таким образом, наше предположение неверно, и число n^2 - 1 действительно делится на 3, если n не делится на 3.