Для начала найдем стороны треугольника. Обозначим стороны треугольника как a, b и c.
Так как периметр треугольника равен 33, то сумма всех сторон равна периметру: a + b + c = 33
Также известно, что радиус вписанной окружности равен 4. Известно, что радиус вписанной окружности равен площади треугольника, поделенной на полупериметр (s) треугольника:
r = S / s
где S - площадь, s - полупериметр. Так как S = r * s, то площадь треугольника можно выразить как:
S = r s = 4 s
Также площадь треугольника можно представить через формулу Герона:
S = sqrt(s (s - a) (s - b) * (s - c))
Подставим S = 4 * s в формулу Герона:
4 s = sqrt(s (s - a) (s - b) (s - c))
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(4 s)^2 = (s (s - a) (s - b) (s - c))
16 * s^2 = s^4 - s^3(a + b + c) + s^2(ab + ac + bc) - s(abc)
Для начала найдем стороны треугольника. Обозначим стороны треугольника как a, b и c.
Так как периметр треугольника равен 33, то сумма всех сторон равна периметру:
a + b + c = 33
Также известно, что радиус вписанной окружности равен 4. Известно, что радиус вписанной окружности равен площади треугольника, поделенной на полупериметр (s) треугольника:
r = S / s
где S - площадь, s - полупериметр. Так как S = r * s, то площадь треугольника можно выразить как:
S = r s = 4 s
Также площадь треугольника можно представить через формулу Герона:
S = sqrt(s (s - a) (s - b) * (s - c))
Подставим S = 4 * s в формулу Герона:
4 s = sqrt(s (s - a) (s - b) (s - c))
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(4 s)^2 = (s (s - a) (s - b) (s - c))
16 * s^2 = s^4 - s^3(a + b + c) + s^2(ab + ac + bc) - s(abc)
Подставляем a + b + c = 33 и получаем:
16 * s^2 = s^4 - 33s^3 + s^2(ab + ac + bc) - s(abc)
Теперь делаем замену переменных a + b + c = 33 и ab + ac + bc = q, abc = p:
16 * s^2 = s^4 - 33s^3 + s^2q - sp
s^4 - 33s^3 + s^2q - sp - 16s^2 = 0
Применяем теорему Виета и находим s:
s = (a + b + c) / 2 = 33 / 2 = 16.5
Используем найденное значение s для нахождения сторон треугольника:
a = 16.5 - 4 = 12.5
b = 16.5 - 4 = 12.5
c = 16.5 - 4 = 12.5
Теперь вычислим площадь треугольника по формуле Герона:
S = sqrt(16.5 (16.5 - 12.5) (16.5 - 12.5) (16.5 - 12.5)) = sqrt(16.5 4 4 4) = sqrt(528) ≈ 23.0
Таким образом, площадь треугольника составляет около 23.0.