1 Найти наибольшее и наименьшее значения функции : f(х) = 2х 3 – 3х 2 – 36х [– 2; 1] 2 Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м 2 . Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром. 3 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(х) =2х 3 + 3х 2 – 36х а) [– 4; 3] б) [– 2; 1]; (образцу примера) а )f(х) = х 4 – 8х 2 + 5 [– 3; 2] б) f(х) = х + е –2 [– 1; 2] 4 Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = x 3 – 3x 2 + 3x + 2; [– 2; 2]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольших и наименьших значений функции f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 36x на отрезке [-2; 1] используем метод дифференцирования. Сначала найдем точки экстремума, приравняв производную функции к нулю:
f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 = 0
x^2 - x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x1 = 3, x2 = -2

Точки -2 и 1 являются крайними точками отрезка [-2; 1]. Подставим значения функции в эти точки и в найденные точки экстремума:
f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) = -16 + 12 + 72 = 68
f(1) = 21^3 - 31^2 - 361 = 2 - 3 - 36 = -37
f(3) = 23^3 - 33^2 - 36*3 = 54 - 27 - 108 = -81

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-2; 1] равно 68, а наименьшее значение равно -81.

Площадь прямоугольника S = 9 м^2. Для прямоугольника периметр P = 2(a+b), где a и b - стороны прямоугольника. Нам нужно минимизировать выражение 2(a+b), при условии что ab = 9.

По условию ab = 9, можем выразить b = 9/a. Тогда P = 2(a + 9/a).
Дифференцируем относительно a:
dP/da = 2(1 - 9/a^2) = 0
1 - 9/a^2 = 0 => a = 3

Таким образом, для наименьшего периметра необходимо принять стороны прямоугольника равные 3 м и 3 м.

а) Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x на отрезке [-4; 3]. Можно воспользоваться методом дифференцирования. Сначала найдем точки экстремума, приравняв производную функции к нулю:
f'(x) = 6x^2 + 6x - 36 = 0
x^2 + x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
x1 = -3, x2 = 2

Точки -4 и 3 являются крайними точками отрезка [-4; 3]. Подставим значения функции в эти точки и в найденные точки экстремума:
f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) = -128 + 48 + 144 = 64
f(3) = 23^3 + 33^2 - 363 = 54 + 27 - 108 = -27
f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = -54 + 27 + 108 = 81
f(2) = 22^3 + 32^2 - 362 = 16 + 12 - 72 = -44

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-4; 3] равно 81, а наименьшее значение равно -44.

б) Выполнение подобных расчетов для данного пункта задания будет аналогичным предыдущему пункту.

Для нахождения наибольших и наименьших значений функции f(x) = x^3 – 3x^2 + 3x + 2 на отрезке [-2; 2] также воспользуемся методом дифференцирования. Мы можем выделить крайние точки -2 и 2, а затем найти точки экстремума.

f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 0
x^2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)^2 = 0
x = 1

f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 3(-2) + 2 = -8 - 12 - 6 + 2 = -24
f(1) = 1^3 - 31^2 + 31 + 2 = 1 - 3 + 3 + 2 = 3
f(2) = 2^3 - 32^2 + 32 + 2 = 8 - 12 + 6 + 2 = 4

Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 2] равно 4, а наименьшее значение равно -24.