В равнобедренной трапеции АВСД биссектрисы углов АВС и ВСД пересекаются в точке N1. На прямых АВ и СД взяты точки F и Q, так что В лежит между А и F, а С - между D и Q. Биссектрисы углов FBC и BCQ пересекаются в точке N2. Длина отрезка N1N2=12 см. Найдите длину ВN2, если угол ВN1С=60о.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку N1N2 проходит через середину основания трапеции ABCD, то N1N2 является средней линией трапеции. Следовательно, N1N2 равна полусумме оснований трапеции:

N1N2 = (AB + CD) / 2.

Из условия задачи мы знаем, что AB=CD, так как трапеция равнобедренная. Поэтому

N1N2 = 2 * AB / 2 = AB.

Теперь заметим, что треугольник FBC равнобедренный, так как BF=BC. Из условия задачи следует, что угол FBC = 60°, а значит угол BCF = (180°-60°)/2 = 60°. Следовательно, треугольник FBC равносторонний, и BC=FC=BF.

По этой же логике, можно доказать, что треугольник BCQ также равносторонний.

Теперь разберем треугольник BCN2. В этом треугольнике N2C=N2B (так как N2 лежит на биссектрисе угла ВСD), угол B=60° (по условию), а угол N2BC угол N2CB = 60° (так как треугольник BCN2 равнобедренный).

Из этого следует, что треугольник BCN2 - равносторонний и BC=CN2=BN2.

Следовательно,

BN2 = AB = N1N2 = 12 см.

Ответ: BN2 = 12 см.