Приведено следующее уравнение x*u_x + ( x+ y)u_y = u + 1 Приведено следующее уравнение x*u_x + ( x+ y)u_y = u + 1
a. Найдите общее решение задачи явно, то есть запишите u как наиболее общую функцию x, y в диапазоне x, y > 0 .
б. Найдите конкретное решение, подчиняющееся u(x,0) = x^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a. Для решения уравнения сделаем замену переменных: x = e^t, y = e^t*xi, u = f(t, xi). Тогда уравнение примет вид f_t = f + 1. Решением этого уравнения является f(t, xi) = Ce^t - 1, где С - произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение в исходных переменных будет u(x, y) = Cx - 1.

б. Для нахождения конкретного решения подставим начальное условие u(x,0) = x^2 в общее решение. Получаем Cx - 1 = x^2, откуда С = x + 1. Таким образом, конкретное решение задачи имеет вид u(x, y) = (x + 1)x - 1 = x^2 + x - 1.