Доказать, что 49^3 + 26^3 делится на 75 (вычислить удобным способом)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что 49^3 + 26^3 делится на 75, можно воспользоваться фактом о том, что если число N делится на a и b, то оно также делится на их НОК.

Для начала, найдем остатки от деления 49^3 и 26^3 на 3 и 5:

49^3 = (50-1)^3 = 50^3 - 350^2 + 350 - 1 = 125000 - 7500 + 150 - 1 = 117649
26^3 = (25+1)^3 = 25^3 + 325^2 + 325 + 1 = 15625 + 1875 + 75 + 1 = 17576

Остаток от деления 49^3 на 3 равен остатку от деления 117649 на 3, который равен 1.
Остаток от деления 26^3 на 3 равен остатку от деления 17576 на 3, который равен 2.

Остаток от деления 49^3 на 5 равен остатку от деления 117649 на 5, который равен 4.
Остаток от деления 26^3 на 5 равен остатку от деления 17576 на 5, который равен 1.

Теперь найдем остаток от деления суммы 49^3 + 26^3 на 3 и 5:

(49^3 + 26^3) mod 3 = (1 + 2) mod 3 = 3 mod 3 = 0
(49^3 + 26^3) mod 5 = (4 + 1) mod 5 = 5 mod 5 = 0

Таким образом, остаток от деления суммы 49^3 + 26^3 на 3 и 5 равен 0, что означает, что 49^3 + 26^3 делится и на 3, и на 5, а значит, и на их НОК, то есть на 75.

Таким образом, доказано, что 49^3 + 26^3 делится на 75.