Как доказать такое забавное тождество? ∞!=√(2π), где ∞! - exp(−ζ′(0)) и где (формально) ζ′(z)=∑(k=1, ∞) ln(k)/k^z

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Это тождество действительно забавное, но его доказательство довольно сложно и требует знания специальных математических техник и формул.

Для начала заметим, что √(2π) - это асимптотика ∞!. То есть, приближенно, значение ∞! стремится к √(2π) при бесконечно больших значениях.

Чтобы доказать это тождество, можно воспользоваться знанием о связи между теорией чисел и анализом. Для начала нужно доказать, что сумма ∑(k=1, ∞) ln(k)/k^z имеет аналитическое продолжение в область комплексной плоскости. Затем можно воспользоваться специальными методами анализа для вычисления exp(−ζ′(0)).

В целом, данное доказательство требует серьезных математических знаний и навыков. Но можно просто наслаждаться этим забавным тождеством и при необходимости использовать его без доказательства.