Докажите что 233^3+361^3 делится на 594

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это с помощью теоремы о вычетах.

Для начала заметим, что 594 = 2 3^3 11.

Теперь посмотрим на выражение 233^3 + 361^3 в модулярной арифметике по отношению к 2, 3 и 11.

Для 233^3 + 361^3 по модулю 2:
233 ≡ 1 (mod 2)
361 ≡ 1 (mod 2)

Значит,
233^3 ≡ 1 (mod 2)
361^3 ≡ 1 (mod 2)

Тогда 233^3 + 361^3 ≡ 1 + 1 ≡ 2 ≡ 0 (mod 2).

Для 233^3 + 361^3 по модулю 3:
233 ≡ 2 (mod 3)
361 ≡ 1 (mod 3)

Значит,
233^3 ≡ 2^3 ≡ 8 ≡ 2 (mod 3)
361^3 ≡ 1 (mod 3)

Тогда 233^3 + 361^3 ≡ 2 + 1 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3).

Для 233^3 + 361^3 по модулю 11:
233 ≡ 2 (mod 11)
361 ≡ 9 (mod 11)

Значит,
233^3 ≡ 2^3 ≡ 8 (mod 11)
361^3 ≡ 9^3 ≡ 729 ≡ 4 (mod 11)

Тогда 233^3 + 361^3 ≡ 8 + 4 ≡ 12 ≡ 1 (mod 11).

Таким образом, мы получили, что 233^3 + 361^3 делится на 2, 3 и 11, то есть на 594. Таким образом, доказано, что 233^3 + 361^3 делится на 594.