Найти критические точки функции (максимумы и минимумы). 1) f (x) = 2x^4 - 4x^2 + 1 2) f (x) = x/4 + 9 /х

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для функции f(x) = 2x^4 - 4x^2 + 1 найдем производную:
f'(x) = 8x^3 - 8x

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:
8x^3 - 8x = 0
8x(x^2 - 1) = 0
x = 0, x = 1, x = -1

Теперь найдем вторую производную:
f''(x) = 24x^2 - 8

Подставим критические точки во вторую производную:
f''(0) = -8 < 0 - это точка локального максимума
f''(1) = 16 > 0 - это точка локального минимума
f''(-1) = 16 > 0 - это точка локального минимума

Итак, у функции f(x) = 2x^4 - 4x^2 + 1 есть точки локального максимума в точке x = 0 и точки локального минимума в точках x = 1 и x = -1.

2) Для функции f(x) = x/4 + 9 / x найдем производную:
f'(x) = 1/4 - 9/x^2

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:
1/4 - 9/x^2 = 0
9/x^2 = 1/4
x^2 = 36
x = ±6

Теперь найдем вторую производную:
f''(x) = 18/x^3

Подставим критические точки во вторую производную:
f''(6) = 18/216 > 0 - это точка локального минимума
f''(-6) = 18/216 > 0 - это точка локального минимума

Итак, у функции f(x) = x/4 + 9 / x есть точки локальных минимумов в точках x = 6 и x = -6.