Известно, что p и p^2+2 - простые. Докажите, что число p^3+2 также является простым

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Допустим, что число p^3 + 2 не является простым. Тогда оно может быть разложено на множители как p^3 + 2 = ab, где a и b - целые числа, больше 1.

Рассмотрим это уравнение по модулю p. Получаем (p^3 + 2) mod p = 0 mod p. Далее, заметим, что (p^3) mod p = 0 mod p, так как любое число, возведенное в степень, делится на p. А (2) mod p = 2. Таким образом, (p^3 + 2) mod p = 0 + 2 mod p = 2 mod p.

Отсюда вытекает, что ab = 2 mod p. Так как p простое число, то из равенства (p^2 + 2) mod p = 0 mod p следует, что p не делит ни a, ни b. Таким образом, a и b не могут быть равными p, иначе ab делилось бы на p.

Поскольку a и b не равны p, их можно представить как a = kp + x, b = lp + y, где k, l - целые числа, х, у - меньше p. Подставив это обозначение в уравнение ab = p^3 + 2, получаем:

(p^3 + 2) = (kp + x)(lp + y) = klp^2 + xlp + ykp + xy

Из этого уравнения видно, что p делит само число слева, но не делит его справа, так как xy < p^2, следовательно ab не кратно p и не делится на p. Получаем противоречие, т.е. число p^3 + 2 должно быть простым.