Пусть x и y - такие целые числа, что 3x+7y делится на 19.Докажите, что 43x+75y тоже делится на 19.Сделать поддробно

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение методом математической индукции.

База индукции:
Пусть x = 0 и y = 0, тогда 30 + 70 = 0, что делится на 19.
И также 430 + 750 = 0, что также делится на 19.

Предположение индукции:
Пусть для произвольных целых x и y, таких что 3x + 7y делится на 19, верно, что 43x + 75y также делится на 19.

Индукционный переход:
Пусть 3x + 7y делится на 19, то есть существует целое число k, такое что 3x + 7y = 19k.
Тогда выразим х и у через k:
x = (19k - 7y)/3
y = (19k - 3x)/7

Подставим x и y в выражение 43x + 75y:
43((19k - 7y)/3) + 75((19k - 3x)/7) = 19*(43k - 5y + 5x)

Заметим, что выражение 43k - 5y + 5x является целым числом, так как x и y целые числа.
Следовательно, 43x + 75y также делится на 19.

Таким образом, мы доказали данное утверждение методом математической индукции.