Решите уравнение 1)sin7x=sin3x 2)tgx+3ctgx=4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) sin(7x) = sin(3x)

Используем тригонометрическую формулу синуса для разности углов:

sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Тогда:

sin(7x) = sin(3x)
sin(7x)cos(3x) - cos(7x)sin(3x) = sin(3x)
(sin(7x)cos(3x) - cos(7x)sin(3x)) = sin(3x)
sin(7x)cos(3x) - cos(7x)sin(3x) - sin(3x) = 0
(sin(7x)cos(3x) - sin(3x))cos(7x) = 0
sin(7x - 3x)cos(7x) = 0
sin(4x)cos(7x) = 0

Так как sin(4x) не равно нулю, то одно из слагаемых равно нулю:

1) sin(4x) = 0
4x = arcsin(0) + 2kπ
4x = kπ
x = kπ/4, где k - целое число

2) cos(7x) = 0
7x = arccos(0) + 2kπ
7x = π/2 + kπ
x = π/(2*7) + kπ/7 = π/14 + kπ/7, где k - целое число

2) tg(x) + 3ctg(x) = 4

tg(x) + 3/ tg(x) = 4

Преобразуем:

tg^2(x) + 3 = 4tg(x)
tg^2(x) - 4tg(x) + 3 = 0
(tg(x) - 1)(tg(x) - 3) = 0

Отсюда получаем два уравнения:

1) tg(x) - 1 = 0
tg(x) = 1
x = π/4 + kπ, где k - целое число

2) tg(x) - 3 = 0
tg(x) = 3
x = arctg(3) + kπ
x = π/3 + kπ, где k - целое число.