В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус . вычислить объем конуса , если сторона основания пирамиды равна 14, а боковое ребро 10

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам понадобится выразить высоту конуса через параметры пирамиды.

Пусть высота пирамиды равна h, тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами h и радиусом основания конуса r получаем, что:
r^2 + (h/2)^2 = (14/2)^2
r^2 + h^2/4 = 49
r^2 = 49 - h^2/4
r = √(49 - h^2/4)

Также у нас есть еще одно прямоугольный треугольник с катетами h и ребром пирамиды равным 10, тогда:
r^2 + h^2 = 10^2
49 - h^2/4 + h^2 = 100
49 + 3h^2/4 = 100
3h^2/4 = 51
h^2 = 68
h = 2√17

Теперь, когда мы нашли высоту конуса, можем подставить ее в формулу для радиуса и найти объем конуса:
r = √(49 - (2√17)^2/4) = √(49 - 34) = √15

V = 1/3 π r^2 h = 1/3 π 15 2√17 = 10π√17

Итак, объем конуса равен 10π√17.