Докажите, что сумма любого натурального числа и его квадрата являются четным числом

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дано натуральное число n.

Тогда сумма n и его квадрата равна n + n^2 = n(1 + n).

Если n четное, то n = 2k, где k - целое число.

Тогда n(1 + n) = 2k(1 + 2k) = 2k + 4k^2 = 2(k + 2k^2).

Поскольку k и 2k^2 являются целыми числами, то их сумма также является целым числом, умноженным на 2, то есть четным числом.

Если n нечетное, то n = 2k + 1, где k - целое число.

Тогда n(1 + n) = (2k + 1)(1 + 2k) = 2k + 1 + 4k + 2k^2 = 2(k + 2k^2 + 2) + 1.

Поскольку k, 2k^2 и 2 - целые числа, то их сумма умноженная на 2 будет четным числом, но к этой сумме добавляется 1, которая делает всю сумму нечетной.

Из этого можно сделать вывод, что сумма любого натурального числа и его квадрата является четным числом.