НАЙДИТЕ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ 10 lg(x+1)-x^2/4-1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего значения функции воспользуемся производной функции.

Найдем производную функции f(x) = 10lg(x+1) - x^2/4 - 1:

f'(x) = 10/(x+1) - x/2

Теперь найдем точку, где производная равна 0:

10/(x+1) - x/2 =
10/(x+1) = x/
20 = x^2 + 2
x^2 + 2x - 20 =
(x + 5)(x - 4) = 0

x = -5, x = 4

Мы получили две кандидатурные точки для экстремумов функции - x = -5 и x = 4. Чтобы определить, какая из этих точек дает максимальное значение функции, найдем вторую производную f''(x):

f''(x) = -10/(x+1)^2 - 1/2

Теперь подставим найденные кандидатурные точки -5 и 4 во вторую производную:

f''(-5) = -10/(-5+1)^2 - 1/2 = -0.
f''(4) = -10/(4+1)^2 - 1/2 = -0.4

Таким образом, обе кандидатурные точки дают отрицательное значение второй производной, следовательно, они представляют максимумы функции.

Теперь найдем значения функции в точках x = -5 и x = 4:

f(-5) = 10lg(-5+1) - (-5)^2/4 - 1 = 10lg(-4) - 25/4 -
f(-5) ≈ 10*(-1.386) - 6.25 -
f(-5) ≈ -13.86 - 6.25 -
f(-5) ≈ -21.11

f(4) = 10lg(4+1) - 4^2/4 - 1 = 10lg(5) - 4 -
f(4) ≈ 10*0.698 - 4 -
f(4) ≈ 6.98 - 4 -
f(4) ≈ 1.98

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) = 10lg(x+1) - x^2/4 - 1 равно -21.11, и оно достигается при x = -5.