В прямоугольной трапеции ABCD меньшая боковая сторона AB = 10 см, угол CDA = 45°, CM - высота. Найти MD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка M находится на стороне AD и образует прямой угол с высотой CM. Тогда так как угол CDA = 45°, то и угол CMD = 45°.

Так как CMD - прямоугольный треугольник, то угол CDM = 45°.

Получаем, что треугольник CMD - равнобедренный прямоугольный треугольник, а значит CM = DM.

Так как CM - высота трапеции, а площадь трапеции можно найти как половину произведения суммы оснований на высоту, то площадь S = (AD + BC) h / 2 = (AD + BC) CM / 2.

По условию, AB = 10 см, а AD = BC + 10. Так как CMD - прямоугольный треугольник, то по теореме Пифагора (AD)^2 = (BC)^2 + (AB)^2, то есть (BC + 10)^2 = (BC)^2 + 100. Решив это уравнение, найдем, что BC = 15. Тогда AD = 25.

Таким образом, S = (25 + 15) CM / 2 = 40 CM / 2 = 20 * CM.

Так как S = S_1 + S_2, где S_1 = (AD + BC) MD / 2, S_2 = (AB + CD) md / 2, получаем, что 20 CM = ((AD + BC) CM + (AB + CD) * MD) / 2.

Подставив известные значения, найдем, что 20 CM = ((25 + 15) CM + (10 + CD) * CM) / 2.

Упростив, получим, что 20 = 40 + CD / 2, то есть CD = 0.

Таким образом, MD = 0.