Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=х4+3х3-12 х2-1 на отрезке [-1;2].

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [-1;2] следует найти значения функции для концов отрезка (-1 и 2) и значения функции в стационарных точках (точках, где производная равна нулю).

Найдем значение функции на концах отрезка:

Для x = -1: y = (-1)^4 + 3(-1)^3 - 12(-1)^2 - 1 = 1 - 3 - 12 - 1 = -15Для x = 2: y = 2^4 + 32^3 - 122^2 - 1 = 16 + 24 - 48 - 1 = -9

Найдем производную функции y = x^4 + 3x^3 - 12x^2 - 1:
y' = 4x^3 + 9x^2 - 24x

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:
4x^3 + 9x^2 - 24x = 0
x(4x^2 + 9x - 24) = 0
x(4x - 3)(x + 8) = 0
x = 0, x = 3/4, x = -8

Найдем значения функции в стационарных точках:

Для x = 0: y = 0^4 + 30^3 - 120^2 - 1 = -1Для x = 3/4: y = (3/4)^4 + 3(3/4)^3 - 12(3/4)^2 - 1 = 81/256 + 27/64 - 27 - 1 ≈ -26.805Для x = -8: y = (-8)^4 + 3(-8)^3 - 12(-8)^2 - 1 = 4096 - 192*8 - 768 - 1 = 2049

Сравнивая найденные значения, получаем:

Наименьшее значение функции на отрезке [-1;2]: y(0) = -1Наибольшее значение функции на отрезке [-1;2]: y(-8) = 2049