Решите уравнение 3 tg^2x+ctg^2x=4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение может быть переписано в виде:

3(tg^2x) + (1/tg^2x) = 4

Далее введем замену tg^2x = t. Получим:

3t + 1/t = 4

Умножим обе части уравнения на t:

3t^2 + 1 = 4t

Теперь перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение:

3t^2 - 4t + 1 = 0

Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-4)^2 - 431 = 16 - 12 = 4

t1,2 = (4 +- sqrt(4)) / 2*3 = (4 +- 2) / 6

t1 = 1 и t2 = 1/3

Обратная тангенсу функция двух аргументов уникальна на интервале ((-\pi/2, \pi/2)), значит получим два набора решений:

1) tg^2x = 1
tgx = +-1
x = +-pi/4 + pi*n, где n - целое число

2) tg^2x = 1/3
tgx = +-sqrt(1/3)
x = +-arctg(sqrt(1/3)) + pi*n, где n - целое число

Итак, уравнение имеет бесконечное множество решений.