Решите в натуральных числах (a,b) уравнение НОК(a,b)−НОД(a,b)=ab/5. В ответ укажите a+b . Если решений несколько, укажите наибольшее значение a+b.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Известно, что НОК(a,b) * НОД(a,b) = ab для любых натуральных чисел a и b.

Дано: НОК(a,b) - НОД(a,b) = ab/5

Подставим НОК(a,b) = ab / НОД(a,b) в уравнение:

ab / НОД(a,b) - НОД(a,b) = ab / 5

ab - (НОД(a,b))^2 = ab / 5

(НОД(a,b))^2 = 4ab / 5

(НОД(a,b))^2 = 4ab / 5 = 4 * (ab / 5)

(НОД(a,b))^2 = 4 * ab / 5

(НОД(a,b))^2 = 4b

НОД(a,b) = 2√b

Таким образом, НОД(a,b) это вторая степень некоторого числа. Значит, a и b могут быть записаны как a = m^2 и b = n^4.

Тогда НОК(a,b) = mn^2 и НОД(a,b) = n^2.

Подставляем полученные значения в начальное уравнение:

mn^2 - n^2 = m^2 * n^4 / 5

m^2 n^2 = m^2 n^4 / 5

Упрощаем уравнение:

5n^2 - n^2 = n^2

4n^2 = n^2

n^2 = 0

Такого не может быть, значит, система не имеет натуральных решений.

Ответ: Нет натуральных решений.