Найти наименьшее значение у: у=e^(4x)-4e^x+8 на отрезке [-2;2]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке [-2;2] можно воспользоваться производной.

Сначала найдем производную функции y = e^(4x) - 4e^x + 8:

y' = 4e^(4x) - 4e^x.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

4e^(4x) - 4e^x = 0
e^x(4e^(3x) - 4) = 0
e^x = 0 => e^(3x) = 1
e^(3x) = 1 => 3x = 0
=> x = 0.

Таким образом, критическая точка x = 0.

Теперь найдем значения функции в крайних точках отрезка [-2; 2]:

При x = -2:
у = e^(4*(-2)) - 4e^(-2) + 8 = e^(-8) - 4e^(-2) + 8,
y ≈ 294.40.

При x = 2:
у = e^(4*2) - 4e^2 + 8 = e^8 - 4e^2 + 8,
y ≈ 2982.80.

Таким образом, наименьшее значение функции y на отрезке [-2;2] достигается в критической точке x = 0:

у(0) = e^0 - 4e^0 + 8 = 1 - 4 + 8 = 5.

Ответ: наименьшее значение функции у на отрезке [-2;2] равно 5.