Доказать, что 1) При любых целых значениях n значение выражения делится на 66 2) При любых нечётных значениях n значение выражения делится на 168

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем оба утверждения по отдельности:

1) Доказательство, что при любых целых значениях n значение выражения делится на 66:

n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n+1)(n-1)

Заметим, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6:

n(n+1)(n-1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1).

Поэтому значение выражения n^3 - n делится на 6.

Кроме того, одно из трех последовательных натуральных чисел n, (n-1) или (n+1) является чётным. Значит, произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 2.

Таким образом, произведение трёх чисел (n-1), n и (n+1) делится на 2*6 = 12.

Но чтобы применить к произведению какой-либо полученный результат, это число не должно делиться на 2, а 6 делится.

По правилу делимости, если число делится на 6 и на 12, то оно делится на их НОК, т.е. на 66.

Таким образом, значение выражения n^3 - n делится на 66 для любых целых значений n.

2) Доказательство, что при любых нечётных значениях n значение выражения делится на 168:

n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 + 1)(n^2 - 1)

Разложим выражение n^2 - 1:

n^2 - 1 = (n+1)(n-1)

Также заметим, что n^2 + 1 всегда является четным числом, так как при возведении нечётного числа в квадрат и прибавлении 1 результат всегда будет четным.

Поэтому произведение трех множителей n, (n^2 + 1) и (n^2 - 1) делится на 237 = 42.

При нечётном n также выполняется условие, что каждое произведение трёх последовательных чисел делится на 6.

Таким образом, произведение трёх чисел n, (n^2 + 1) и (n^2 - 1) делится на 2642 = 504.

По правилу делимости, если число делится на 42 и на 504, то оно делится на их НОК, т.е. на 168.

Таким образом, значение выражения n^5 - n делится на 168 для любых нечётных значений n.