Решите уравнение 6^x*2^-2=3*9^1/2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение можно переписать в виде:

6^x 2^(-2) = 3 9^(1/2)

6^x 2^(-2) = 3 √9

6^x 2^(-2) = 3 3

6^x * 2^(-2) = 9

Далее разложим числа на простые множители:

6 = 2 * 3

2^(-2) = 1 / 2^2 = 1 / 4

9 = 3^2

Теперь можем переписать уравнение следующим образом:

(2 3)^x (1/4) = 3 * (3^2)

2^x 3^x (1/4) = 3 * 3^2

2^x 3^(x-2) = 3 3^2

2^x 3^(x-2) = 3 9

2^x * 3^(x-2) = 27

2^x 3^x 3^(-2) = 27

2^x * 3^(x-2) = 27

Таким образом, уравнение сводится к:

2^x * 3^(x-2) = 27

Теперь можем использовать логарифмы для решения этого уравнения, но перед этим нам необходимо "развернуть" уравнение:

27 = 3^3

Подставляем в уравнение:

2^x * 3^(x-2) = 3^3

Прологарифмируем обе части равенства:

ln(2^x * 3^(x-2)) = ln(3^3)

x ln(2) + (x-2) ln(3) = 3 * ln(3)

x ln(2) + x ln(3) - 2 ln(3) = 3 ln(3)

x (ln(2) + ln(3)) - 2 ln(3) = 3 * ln(3)

x ln(6) - 2 ln(3) = 3 * ln(3)

x ln(6) = 3 ln(3) + 2 * ln(3)

x ln(6) = 5 ln(3)

x = 5 * ln(3) / ln(6)

x ≈ 2.2718

Итак, решение уравнения 6^x 2^(-2) = 3 9^(1/2) равно примерно 2.2718.