Три станка выпускают болты. Первый дает 25%, второй - 35%, третий - 40% всей продукции. Причем, первый из своей выработанной продукции дает брак 5%, второй - 4%, третий - 2%. Выбранный болт оказался бракованным. Какова вероятность, что он произведен первой машиной?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся формулой условной вероятности:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B),

где P(A|B) - вероятность события A при условии события B, P(A ∩ B) - вероятность одновременного наступления событий A и B, P(B) - вероятность события B.

Пусть событие A - бракованный болт произведен первой машиной, событие B - наш выбранный болт бракованный.

Из условия задачи известно, что первая машина производит 25% всей продукции, бракованность продукции первой машины составляет 5%. То есть P(A) = 0.25 и P(B|A) = 0.05.

Посчитаем вероятность P(B), что выбранный болт оказался бракованным:

P(B) = P(B|A) P(A) + P(B|B) P(B) + P(B|C) P(C),
P(B) = 0.05 0.25 + 0.04 0.35 + 0.02 0.4,
P(B) = 0.0125 + 0.014 + 0.008,
P(B) = 0.0345.

Теперь найдем вероятность P(A ∩ B), что выбранный болт оказался бракованным и произведен первой машиной:

P(A ∩ B) = P(B|A) P(A),
P(A ∩ B) = 0.05 0.25,
P(A ∩ B) = 0.0125.

Теперь можем найти искомую вероятность P(A|B):

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B),
P(A|B) = 0.0125 / 0.0345,
P(A|B) ≈ 0.3623.

Таким образом, вероятность, что бракованный болт был произведен первой машиной, составляет около 36.23%.