1.Упростите выражение: tg40'+tg20' / 1-tg40' * tg20' 2.Решите уравнение: sin x * cos3x + sin3x * cosx = 1 3. Вычислите cos(альфа+бетта), если cosальфа = -3/5 и ПИ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Упростим выражение:
tg40° + tg20° = (sin40° / cos40°) + (sin20° / cos20°) = (2sin30°cos10°) / (cos40°cos20°) = 2cos10° / (cos40°cos20°)
1 - tg40° * tg20° = 1 - (sin40°sin20°) / (cos40°cos20°) = 1 - sin30° = 1 - 1/2 = 1/2

Итак, (tg40' + tg20') / (1 - tg40' * tg20') = (2cos10° / (cos40°cos20°)) / (1/2) = 4cos10° / (cos40°cos20°)

Решим уравнение:
sin x cos3x + sin3x cosx = sin4x = 1
sin4x = 1
4x = π/2 + 2kπ, где k - целое число

x = (π/8 + kπ/2), где k - целое число

Вычислим cos(альфа+бетта), зная, что cosальфа = -3/5 и ПИ:
cos(альфа+бетта) = cosальфа cosбетта - sinальфа sinбетта
sinальфа = sqrt(1 - cos^2альфа) = sqrt(1 - (-3/5)^2) = -4/5

cos(альфа+бетта) = (-3/5)cosбетта - (-4/5)sinбетта = -3/5 cosбетта + 4/5 sinбетта

Так как sinбетта = sqrt(1 - cos^2бетта) = sqrt(1 - (-4/5)^2) = -3/5, то
cosбетта = sqrt(1 - (-3/5)^2) = 4/5

Подставляем в выражение:
cos(альфа+бетта) = -3/5 4/5 + 4/5 -3/5 = -12/25 - 12/25 = -24/25