Пятый член геометрической прогрессии больше четвертого на 168, а сумма третьего и четвертого членов равна -28. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим первый член прогрессии как (a), а знаменатель как (q).

Тогда, учитывая условия задачи, получаем систему уравнений:

[ aq^3 = aq^4 - 168 ]

[ aq^2 + aq^3 = -28 ]

Разделим первое уравнение на (aq^3):

[ q = q - \frac{168}{aq^3}
[ q = 1 - \frac{168}{a} ]

Подставим найденное значение (q) во второе уравнение:

[ a(1 - \frac{168}{a})^2 + a(1 - \frac{168}{a})^3 = -28 ]

[ a - 336 + \frac{28224}{a} + a - 504 + \frac{42336}{a} - 28a = -28 ]

[ 2a - 840 + \frac{28224 + 42336 - 28a^2}{a} = 0 ]

[ a + \frac{3528 - 14a^2}{a} =420 ]

[ a^2 - 420a + 3528 - 14a^2 =0 ]

[ -13a^2 - 420a + 3528 = 0 ]

[ a^2 + \frac{420}{13}a - 271.38 = 0 ]

[ a = \frac{-\frac{420}{13}±\sqrt{(\frac{420}{13})^2+4*271.38}}{2} ]

[ a = \frac{-\frac{420}{13}±\sqrt{(\frac{420}{13})^2+1085.52}}{2} ]

[ a = \frac{-\frac{420}{13}±\sqrt{(\frac{420}{13})^2+1085.52}}{2} ]

Таким образом, первый член прогрессии (a ≈ 3.23), а знаменатель (q = 1 - \frac{168}{a} \approx 48.1).