Решить уравнения: 1)sin4x*cos4x=1/2 2)cos2x+3sinx=1 3)cos2x+3cos(3пи/2+x)=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) sin4x * cos4x = 1/2

Для начала заметим, что sin4x cos4x = sin(4x)cos(4x) = sin(22x)cos(2*2x) = sin(2x)cos(2x) = (1/2)sin(4x)

Таким образом, уравнение принимает вид:

(1/2)sin(4x) = 1/2
sin(4x) = 1

Теперь найдем все значения x, удовлетворяющие уравнению sin(4x) = 1. Так как значение sin угла равно 1 только при sin(90) = 1, то 4x = 90 => x = 22.5° + 90°k, где k - любое целое число.

Ответ: x = 22.5° + 90°k

2) cos2x + 3sinx = 1

Преобразуем уравнение:

cos2x + 3sinx - 1 = 0

Заменим cos2x на 1 - 2sin^2(x):

1 - 2sin^2(x) + 3sinx - 1 = 0
-2sin^2(x) + 3sinx = 0
sinx(3 - 2sinx) = 0

Отсюда получаем, что sinx = 0 или sinx = 3/2. Так как значение sin не может быть больше 1, то решение sinx = 3/2 не подходит. Следовательно, sinx = 0, что соответствует x = 0° + 180°k, где k - любое целое число.

Ответ: x = 0° + 180°k

3) cos2x + 3cos(3π/2 + x) = 1

Разложим cos(3π/2 + x) с помощью формулы косинуса суммы:

cos(3π/2) cosx - sin(3π/2) sinx + 3cosx = 0 - (-1) * sinx + 3cosx
= sinx + 3cosx

Теперь вернемся к исходному уравнению:

cos2x + sinx + 3cosx = 1
2cos^2(x) - 1 + sinx + 3cosx = 1
2cos^2(x) + sinx + 3cosx = 2

Попробуем рассмотреть данное уравнение графически, для этого рассмотрим следующие соотношения 0 ≤ cosx, sinx ≤ 1 и sin^2x = 1 - cos^2(x).

Получаем, что cos^2(x) + 1 - cos^2(x) + 3cosx = 2
cosx + 3cosx = 1
4cosx = 1
cosx = 1/4

Таким образом, cosx = 1/4, что дает x = arccos(1/4).

Ответ: x = arccos(1/4) + 2πk, где k - любое целое число.