При каких А уравнение имеет только одно решение: |2x+6|+2x-8|=ax+12

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы уравнение имело только одно решение, необходимо, чтобы левая и правая части уравнения пересекались только в одной точке.

Рассмотрим графики функций f(x) = |2x+6| + 2x - 8 и g(x) = ax + 12.

Функция f(x) является модульной функцией, которая может принимать разные формы в зависимости от аргумента.

Функция g(x) представляет собой прямую линию.

Если уравнение имеет только одно решение, то касательная к графику f(x) в этой точке будет горизонтальной.

То есть, функция f(x) в этой точке должна иметь либо минимум, либо максимум.

Определим производную функции f(x): f'(x) = 2sign(2x + 6) + 2.

Для того чтобы найти экстремумы функции f(x), найдём x, когда f'(x) = 0: 2sign(2x + 6) + 2 = 0.

2sign(2x + 6) = -2.

sign(2x + 6) = -1.

2x + 6 < 0.

2x < -6.

x < -3.

При x < -3 модуль 2x + 6 равен 2x + 6, поэтому f(x) = (2x + 6) + (2x - 8) = 4x - 2.

Теперь проверим, при каких значениях a уравнение |2x+6| + 2x - 8 = ax + 12 имеет только одно решение.

4x - 2 = ax + 12.

4x - ax = 14.

x(4 - a) = 14.

Если 4 - a ≠ 0, то x = 14 / (4 - a), и уравнение имеет единственное решение.

Следовательно, уравнение имеет только одно решение при a ≠ 4.