Найти производную функции у=х*arctgx / 1+х^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала выпишем данную функцию у = x * arctg(x) / (1 + x^2).

Теперь найдем производную этой функции по переменной x:

У = x arctg(x) / (1 + x^2
У' = (x' arctg(x) + x (arctg(x))') / (1 + x^2) - (2x(x arctg(x))') / (1 + x^2)^2

Посчитаем производные:

x' =
(arctg(x))' = 1 / (1 + x^2
(x arctg(x))' = x' arctg(x) + x (arctg(x))' = 1 arctg(x) + x / (1 + x^2)

Подставляем найденные значения:

У' = (arctg(x) + x / (1 + x^2)) / (1 + x^2) - (2x(arctg(x) + x / (1 + x^2))) / (1 + x^2)^
У' = (arctg(x) + x / (1 + x^2) - 2x(arctg(x) + x / (1 + x^2))) / (1 + x^2)^2

Упрощаем выражение:

У' = (arctg(x) + x / (1 + x^2) - 2xarctg(x) - 2x^2 / (1 + x^2)) / (1 + x^2)^
У' = (x - 2x^2arctg(x) - 2x^2) / (1 + x^2)^2

Итак, производная функции у = x * arctg(x) / (1 + x^2) равна:

У' = (x - 2x^2arctg(x) - 2x^2) / (1 + x^2)^2.