Найти все натуральные n, для которых sin(0,001pi(n^5-n^3))=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этого уравнения, нам нужно найти все натуральные значения n, для которых sin(0.001π(n^5 - n^3)) = 0.

Сначала заметим, что sin(0.001π(n^5 - n^3)) = sin(0), когда аргумент равен кратным π, т.е. 0.001π(n^5 - n^3) = kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы получаем уравнение: 0.001(n^5 - n^3) = k

n^5 - n^3 = 1000k

n^3(n^2 - 1) = 1000k

n^3(n + 1)(n - 1) = 1000k

Так как n, n+1, n-1 - три последовательных натуральных числа, то одно из них должно быть кратным 2, другое - кратным 3, а третье - кратным 5. Т.е. n, n+1 и n-1 должны быть вида 2m, 3m или 5m.

Таким образом, можно рассмотреть все возможные комбинации:

n = 2m, n + 1 = 5m, n - 1 = 3m
2m + 1 = 5m, 2m - 1 = 3m
2m = 4, m = 2, n = 4n = 3m, n + 1 = 2m, n - 1 = 5m
3m + 1 = 2m, 3m - 1 = 5m
m = -1 - не подходитn = 5m, n + 1 = 3m, n - 1 = 2m
5m + 1 = 3m, 5m - 1 = 2m
m = 1, n = 5

Таким образом, уравнение sin(0.001π(n^5 - n^3)) = 0 имеет решения n = 4 и n = 5.