Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 7, следующих трех - 56. Чему равен шестой член этой прогрессии?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель равен q. Тогда первые три члена прогрессии будут a, aq, aq^2, а следующие три члена будут aq^3, aq^4, a*q^5.

Из условия задачи имеем систему уравнений:
a + aq + aq^2 = 7,
aq^3 + aq^4 + a*q^5 = 56.

Разделим второе уравнение на первое:
(q^3 + q^4 + q^5) = 8.

Так как q <> 1, можно домножить обе части уравнения на q и получим:
(1 + q + q^2) = 8q,
q^2 - 7q + 1 = 0.

Решив это квадратное уравнение, найдем два корня q1 и q2:
q1 = (7 + sqrt(45))/2,
q2 = (7 - sqrt(45))/2.

Учитывая, что q должно быть больше 1, то выбираем корень q1. Подставляем это значение в первое уравнение:
a + a(7 + sqrt(45))/2 + a(7 + sqrt(45))/2)^2 = 7.

Решив это уравнение, находим a = 1.

Теперь вычисляем шестой член прогрессии:
aq^5 = 1 ((7 + sqrt(45))/2)^5.

Подставляем значения и получаем:
a*q^5 ≈ 156.