Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции y=x^3+5x^2-8x+4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции y=x^3+5x^2-8x+4 найдем производную функции:

y' = 3x^2 + 10x - 8

Далее найдем корни уравнения y' = 0:

3x^2 + 10x - 8 = 0

D = 10^2 - 43(-8) = 100 + 96 = 196

x1,2 = (-10 +/- sqrt(196)) /
x1 = (-10 + 14) / 6 =
x2 = (-10 - 14) / 6 = -4/3

Теперь найдем значения производной в точках x1 = 1 и x2 = -4/3 и определим знаки производной в интервалах:

y'(0) = 31^2 + 101 - 8 =
y'(-4/3) = 3(-4/3)^2 + 10(-4/3) - 8 = -6

Интервалы монотонности:

1) (-бесконечность, -4/3): убывани
2) (-4/3, 1): возрастани
3) (1, +бесконечность): убывание

Таким образом, функция убывает на промежутках (-бесконечность, -4/3) и (1, +бесконечность), и возрастает на промежутке (-4/3, 1).

Теперь найдем экстремумы функции. Для этого найдем вторую производную:

y'' = 6x + 10

Подставляем найденные ранее значения x1 = 1 и x2 = -4/3:

y''(1) = 61 + 10 = 16 > 0 => экстремум в точке x = 1 (минимум
y''(-4/3) = 6(-4/3) + 10 = 6 > 0 => экстремум в точке x = -4/3 (минимум)

Таким образом, у функции два минимума при x = 1 и x = -4/3.