Известно, что х1, x2,x3- различные корни уравнения х^3-x-1=0. Составьте уравнение наименьшей степени, корнями которого являются числа х+1/х1-1 ; х2+1/х2-1 ; х3+1/х3-1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для составления уравнения наименьшей степени, корнями которого являются числа x1+1/x1-1, x2+1/x2-1 и x3+1/x3-1, воспользуемся заменой переменной.

Обозначим:
y1 = x1 + 1/x1 - 1
y2 = x2 + 1/x2 - 1
y3 = x3 + 1/x3 - 1

Тогда
x1 = (y1 + 1 + sqrt((y1 + 1)^2 - 4(y1 - 1)))/2 и x1 = (y1 + 1 - sqrt((y1 + 1)^2 - 4(y1 - 1)))/2
x2 = (y2 + 1 + sqrt((y2 + 1)^2 - 4(y2 - 1)))/2 и x2 = (y2 + 1 - sqrt((y2 + 1)^2 - 4(y2 - 1)))/2
x3 = (y3 + 1 + sqrt((y3 + 1)^2 - 4(y3 - 1)))/2 и x3 = (y3 + 1 - sqrt((y3 + 1)^2 - 4(y3 - 1)))/2

Составим уравнение наименьшей степени для (y1, y2, y3):
(y - y1)((y - y2)(y - y3)) = 0
(y - (x1 + 1/x1 - 1))((y - (x2 + 1/x2 - 1))(y - (x3 + 1/x3 - 1))) = 0

Поэтому, уравнение наименьшей степени, корнями которого являются числа х+1/х1-1 ; х2+1/х2-1 ; х3+1/х3-1, это
(y - (x1 + 1/x1 - 1))((y - (x2 + 1/x2 - 1))(y - (x3 + 1/x3 - 1))) = 0