Линейные дифференциальные уравнения Y^(tt) + y = 2x*sinx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного уравнения используем метод вариации постоянных.

Ищем общее решение для однородного уравнения y'' + y = 0:
Характеристическое уравнение: r^2 + 1 = 0
r^2 = -1
r1 = i, r2 = -i

Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
y(t) = C1cos(t) + C2sin(t)

Теперь ищем частное решение неоднородного уравнения y'' + y = 2xsin(x).
Предположим, что частное решение имеет вид y_p = Axcos(x) + Bxsin(x).
Вычисляем первую и вторую производные этой функции:
y'_p = -Axsin(x) + Bxcos(x) + Acos(x) + Bsin(x)
y''_p = -Axcos(x) - Bxsin(x) - Axsin(x) + Bxcos(x) - Asin(x) + B*cos(x)

Подставляем полученные производные в неоднородное уравнение и приравниваем к правой части:
-2Axsin(x) + 2Bxcos(x) - 2Asin(x) + 2Bcos(x) + Axcos(x) + Bxsin(x) = 2x*sin(x)

Сравниваем коэффициенты при соответствующих функциях:
-2A = 2
2B = 0
-2A = 0
2B = 0

Решаем систему уравнений и находим значения A и B:
A = -1
B = 0

Подставляем найденные значения A и B в частное решение:
y_p = -x*cos(x)

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения будет представлять собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения:
y(t) = C1cos(t) + C2sin(t) - x*cos(x)