Делится ли число 111...1 на 7 без остатка?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы проверить, делится ли число 111...1 на 7 без остатка, нужно рассмотреть его остаток при делении на 7.

Пусть дано число 111...1, где количество единиц равно n. Такое число можно представить как сумму геометрической прогрессии:
111...1 = 10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 10 + 1

Заметим, что деление числа 111...1 на 7 можно представить как деление суммы степеней числа 10 на 7:
(10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 10 + 1) ≡ (1 + 3 + ... + 3^(n-1)) (mod 7)

Так как 3 ≡ -4 (mod 7), то последовательность 1, 3, 3^2, 3^3, ... образует циклическую последовательность, которая повторяется через каждые 6 элементов:
1, 3, 2, 6, 4, 5

Таким образом, сумма степеней числа 3 по модулю 7 равна 1+3+2+6+4+5=21, что равно 0 (mod 7). Значит, число 111...1 делится на 7 без остатка.

Итак, число 111...1 делится на 7 без остатка.