При каком значении a сумма квадратов корней уравнения x^2+(2a+3)x+a^2+3=0 имеет наименьшее значение?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения минимального значения суммы квадратов корней уравнения нужно использовать метод дифференцирования.

Данное уравнение можно записать в виде (x^2 + 2a + 3)x + a^2 + 3 = 0.

Пусть корни этого уравнения равны x1 и x2.

x1 + x2 = -2a - 3
x1*x2 = a^2 + 3

Сумма квадратов корней будет равна (x1^2 + x2^2)

Подставим найденные значения в данное выражение:

(x1^2 + x2^2) = (x1 + x2)^2 - 2x1x2 = (-2a - 3)^2 - 2*(a^2 + 3) = 4a^2 + 12a + 9 - 2a^2 - 6 = 2a^2 + 12a + 3

Для нахождения значения a, при котором данное выражение имеет минимальное значение, найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:

d(2a^2 + 12a + 3)/da = 4a + 12 = 0
a = -3

Следовательно, при значении a = -3 сумма квадратов корней уравнения будет иметь наименьшее значение.