Параллелограмм двумя пересекающимися прямыми разделили на 4 четырехугольника. Известно, что вокруг одного из них можно описать окружность. Докажите, что вокруг каждого из оставшихся четырехугольников также можно описать окружность.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим вершины параллелограмма как A, B, C и D, а точки пересечения прямых как E и F. Пусть четырехугольник, вокруг которого можно описать окружность, имеет вершины A, B, E и F.

Так как четырехугольник ABFE является выпуклым, то его противоположные углы смежны. Поэтому углы ABC и ECD дополняют друг друга до 180 градусов.

Теперь заметим, что углы ABC и ECD также дополняются до 180 градусов с углами BCD и EAD соответственно, так как прямые AB и CD пересекаются. Значит, углы BCD и EAD также смежны.

Таким образом, углы BCD и EAD дополняют друг друга до 180 градусов, что означает, что четырехугольники BCDE и DAEB также можно описать окружностью.

Таким образом, мы доказали, что вокруг каждого из оставшихся четырехугольников параллелограмма можно описать окружность.