На плоскости даны окружность ω , точка A, лежащая внутри ω , и точка B, отличная от A. Рассматриваются всевозможные треугольники BXY, такие что точки X и Y лежат на ω и хорда XY проходит через точку A. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников BXY, лежат на одной прямой

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через O центр окружности ω, через C - центр окружности, описанной около треугольника BXY, а через M - середину хорды XY.

Так как хорда XY проходит через точку A, то точка M будет лежать на прямой AO и, следовательно, на дуге XY окружности ω
Так как треугольник BXY вписанный, то угол BCY = угол BAX (углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны). Но угол BAX = угол XMY (углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны)
Отсюда получаем, что угол BCY = угол XMY. Следовательно, треугольники BCY и XMY подобны, а значит, углы, противоположные одинаковым сторонам, также равны: угол MOX = угол CBY.

Таким образом, для любой точки X на окружности ω центр описанной около треугольника BXY окружности C будет лежать на одной прямой, параллельной BCY. При изменении точки X на ω центры окружностей также будут меняться, но они все будут лежать на параллельной прямой.