1) Шестой член арифметической прогрессии составляет 60% от третьего члена той же прогрессии, а произведение их равно 15. Сколько нужно взять членов этой прогрессии, чтобы сумма их равнялась 30. 2) Имеется шесть последовательных членов геометрической прогрессии. Сумма первых трех в восемь раз меньше суммы последних трех. Найти знаменатель геометрической прогрессии. 3) Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 96, сумма пятого и шестого членов прогрессии равна 96. Найти пятнадцатый член этой прогрессии.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Пусть третий член арифметической прогрессии равен a, тогда шестой член будет равен 0.6a. Также известно, что а*a = 15. Отсюда находим, что а = 3. Теперь найдем сумму трех членов арифметической прогрессии: S = (a + a + d + a + 2d) = 3a + 3d = 30. Значит, нужно взять 3 члена этой прогрессии, чтобы их сумма равнялась 30.

2) Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель равен q. Тогда сумма первых трех членов равна a(1+q+q^2), а последних трех - a(q^3+q^4+q^5). Условие задачи можно записать как a(1+q+q^2)*8 = a(q^3+q^4+q^5). Разделим обе части на a и упростим: 8(q^2 + q + 1) = q^3 + q^4 + q^5. Заметим, что (q^3 + q^4 + q^5) = q^3(1 + q + q^2) = q^3(q^2 + q + 1). Тогда получаем уравнение 8(q^2 + q + 1) = q^3(q^2 + q + 1), откуда q = 2.

3) Пусть пятый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель равен q. Тогда седьмой член будет равен aq^2, а шестой - aq. Из условия задачи, (aq^2 - a) - (aq - a) = 96, откуда q^2 - q = 96. Также известно, что aq + aq^2 = 96. Решив систему уравнений, получаем, что a = 12, q = 4. Теперь находим пятнадцатый член прогрессии: aq^10 = 124^10 = 196608.