Если y1 и y2 корни уравнения y^2-by+b-1=0 то при каком b, значение (y1)^2+(y2)^2 будет наименьшим ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения минимального значения суммы квадратов y1 и y2, можно воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним квадратичным двух чисел:

(y1)^2 + (y2)^2 >= 2 y1 y2

Также, мы знаем, что уравнение y^2 - by + b - 1 = 0 имеет корни y1 и y2, что означает, что их сумма равна b, а их произведение равно b-1.

Из этого следует:

(y1)^2 + (y2)^2 = (y1 + y2)^2 - 2 y1 y2 = b^2 - 2b(b-1) = b^2 - 2b^2 + 2b

Квадратичная функция f(b) = -b^2 + 2b имеет вершину в точке b = 1, так как a = -1 < 0. Это означает, что значение f(b) будет наибольшим в этой точке, а значит и сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей.

Таким образом, значение (y1)^2 + (y2)^2 будет наименьшим при b = 1.