Найти отношение третьего члена убывающей геометрической прогрессии к её пятнадцатому члену, если сумма двенадцати членов прогрессии, начиная с тринадцатого, составляет 2/5 суммы её первых двенадцати членов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть третий член исходной прогрессии равен a, а её знаменатель q.

Тогда третий член прогрессии: a
Пятнадцатый член прогрессии: a*q^12

Сумма первых двенадцати членов прогрессии:
S12 = a * (1 - q^12) / (1 - q)

Сумма двенадцати членов, начиная с тринадцатого:
S13 = aq^12 (1 - q^12) / (1 - q)

По условию, S13 = 2/5 S12. Подставим формулы и решим уравнение:
aq^12 (1 - q^12) / (1 - q) = 2/5 a * (1 - q^12) / (1 - q)

Упростим уравнение:
q^12 = 2/5

Таким образом, отношение третьего члена убывающей геометрической прогрессии к её пятнадцатому члену равно 2/5.