Как определить скорость роста функции ln(n!) относительно любой другой? Вроде как здесь факториал, который является наиболее быстрорастущей функцией, но он обернут в логарифм. Для сравнения с другими функциями использовал пределы и правило Лопиталя, но в данном случае непонятно как это делать с факториалом.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения скорости роста функции ln(n!) относительно другой функции можно использовать асимптотические оценки.

Рассмотрим функцию ln(n!). Факториал n! можно записать как произведение всех чисел от 1 до n, т.е. n! = 1 2 ... * n. Тогда ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ... + ln(n).

Для оценки скорости роста этой функции, можно воспользоваться формулой Стирлинга, которая гласит, что n! ≈ sqrt(2πn) (n/e)^n. Подставим это приближенное значение в ln(n!), получим ln(n!) ≈ n ln(n) - n + O(ln(n)).

Таким образом, можно сказать, что функция ln(n!) имеет скорость роста, близкую к n*ln(n), в сравнении с другими функциями. Также можно проанализировать скорость роста функции ln(n!) с использованием правила Лопиталя для пределов, но это будет сложнее из-за наличия факториала внутри логарифма.