В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, ВН - высота. Найдите ВН, если периметр треугольника АВС равен 87 см, а периметр треугольника ВНС равен 45 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длина основания равна х см, тогда каждая из равных сторон равна (87 - х)/2 см. Так как ВН - высота, то треугольник ВНС - прямоугольный, а значит применяем теорему Пифагора:

(х/2)^2 + ВН^2 = ((87 - х)/2)^2

Упрощаем:

х^2/4 + ВН^2 = (87^2 + x^2 - 87х)/4

4ВН^2 = 87^2 + x^2 - 87х - x^2

4ВН^2 = 87^2 - 87х

ВН^2 = 87^2 / 4 - 87х / 4

ВН^2 = 87(87/4 - x/4)

Также знаем, что периметр треугольника ВНС равен 45 см:

45 = ВН + ВН + (87 - х)/2

45 = 2ВН + 87/2 - х/2

2ВН = 45 - 87/2 + x/2

2ВН = 90 - 87 - х/2

2ВН = 3 - х/2

ВН = 3/2 - х/4

Подставляем полученное ВН в уравнение для ВН^2:

(3/2 - х/4)^2 = 87(87/4 - x/4)

9/4 - 3х/4 + x^2/16 = 87(87/4 - x/4)

9/4 - 3х/4 + x^2/16 = (87^2 - 87x)/4

x^2 - 12x + 36 = 0

(x - 6)^2 = 0

x = 6

Таким образом, длина основания треугольника АВС равна 6 см. Тогда длина ВН равна:

ВН = 3/2 - 6/4 = 3/2 - 3/2 = 0

Итак, ВН равно 0, что означает, что точка В и точка Н совпадают.