Для доказательства данного равенства используем тригонометрические тождества:
Используем тождество синуса для удвоенного угла: sin(2α) = 2sinαcosαПодставим α = 2x: sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x).
Запишем sin(2x) и cos(2x) через sinx и cosx, используя тождество синуса для удвоенного углаsin(2x) = 2sinx*coscos(2x) = cos^2x - sin^2cos(2x) = cos^2x - (1 - cos^2xcos(2x) = cos^2x - 1 + cos^2cos(2x) = 2cos^2x - 1
Подставляем полученные значения sin(2x) и cos(2x) в равенство sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)sin(4x) = 2(2sinxcosx)(2cos^2x - 1sin(4x) = 4sinxcosx (2cos^2x - 1sin(4x) = 8sinxcosxcos^2x - 4sinxcossin(4x) = 8sinxcosxcos^2x - 4sinxcosx
Таким образом, мы доказали, чт8sinxcosxcos^2x - 4sinx*cosx = sin(4x), что и требовалось доказать.
Для доказательства данного равенства используем тригонометрические тождества:
Используем тождество синуса для удвоенного угла: sin(2α) = 2sinαcosα
Подставим α = 2x: sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x).
Запишем sin(2x) и cos(2x) через sinx и cosx, используя тождество синуса для удвоенного угла
sin(2x) = 2sinx*cos
cos(2x) = cos^2x - sin^2
cos(2x) = cos^2x - (1 - cos^2x
cos(2x) = cos^2x - 1 + cos^2
cos(2x) = 2cos^2x - 1
Подставляем полученные значения sin(2x) и cos(2x) в равенство sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)
sin(4x) = 2(2sinxcosx)(2cos^2x - 1
sin(4x) = 4sinxcosx (2cos^2x - 1
sin(4x) = 8sinxcosxcos^2x - 4sinxcos
sin(4x) = 8sinxcosxcos^2x - 4sinxcosx
Таким образом, мы доказали, чт
8sinxcosxcos^2x - 4sinx*cosx = sin(4x), что и требовалось доказать.