4sinx*cos^2x - 4sin^3x*cosx = sin4x Доказать равенство

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного равенства используем тригонометрические тождества:

Используем тождество синуса для удвоенного угла: sin(2α) = 2sinαcosα.
Подставим α = 2x: sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x).

Запишем sin(2x) и cos(2x) через sinx и cosx, используя тождество синуса для удвоенного угла:
sin(2x) = 2sinx*cosx
cos(2x) = cos^2x - sin^2x
cos(2x) = cos^2x - (1 - cos^2x)
cos(2x) = cos^2x - 1 + cos^2x
cos(2x) = 2cos^2x - 1

Подставляем полученные значения sin(2x) и cos(2x) в равенство sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x):
sin(4x) = 2(2sinxcosx)(2cos^2x - 1)
sin(4x) = 4sinxcosx (2cos^2x - 1)
sin(4x) = 8sinxcosxcos^2x - 4sinxcosx
sin(4x) = 8sinxcosxcos^2x - 4sinxcosx

Таким образом, мы доказали, что
8sinxcosxcos^2x - 4sinx*cosx = sin(4x), что и требовалось доказать.