Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что АВ=6√2,∠ВАС=45о, а медиана АМ=√58.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника через медиану, зная длины медианы и высоты:

S = (2/3) √(p (p - a) (p - b) (p - c)), где
a, b, c - стороны треугольника,
p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).

Сначала найдем сторону ВС треугольника ABC, используя свойство прямоугольного треугольника, с углом 45 градусов. Так как угол BAC = 90 градусов, а угол ВАС = 135 градусов (180 - 45), то имеем два прямоугольных треугольника АВС и ВАМ, а также угол СМВ = 90 градусов. Обозначим сторону треугольника ABC как х. Тогда по теореме косинусов для треугольника ABC:

(6√2)^2 = x^2 + (√58)^2 - 2 x √58 cos45°
72 = x^2 + 58 - 2 x √58 (1/√2)
14 = x^2 - x√58
x^2 - x√58 - 14 = 0

Решая данное квадратное уравнение, найдем, что x = 7см.

Теперь можем приступить к нахождению площади треугольника:

a = 6√2, b = 6√2, c = 7,
p = (6√2 + 6√2 + 7) / 2 = 6√2 + 3.5,

S = (2/3) √((6√2 + 3.5) ((6√2 + 3.5) - 6√2) ((6√2 + 3.5) - 6√2) ((6√2 + 3.5) - 7))
S = (2/3) √((6√2 + 3.5) 3.5 3.5 (3.5 - 7))
S = (2/3) √((6√2 + 3.5) 3.5 3.5 -3.5)
S = (2/3) √(14 3.5 3.5 -3.5)
S = (2/3) √(1715)
S ≈ (2/3) 41.41
S ≈ 27.61

Итак, площадь остроугольного треугольника ABC равна приблизительно 27.61 кв.см.