Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn) равна 3 , а сумма последовательности , составленной из квадратов её членов , равна 1,8 . Найдите первый член и знаменатель прогрессии (bn).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используем формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и суммы квадратов членов этой прогрессии:

S = a / (1 - q), где S = 3,
S^2 = a^2 / (1 - q^2), где S^2 = 1,8.

Подставим значение S в первую формулу:

3 = a / (1 - q) => a = 3 - 3q.

Подставим значение S^2 во вторую формулу:

(3 - 3q)^2 / (1 - q^2) = 1,8.

Раскроем скобки:

9 - 18q + 9q^2 / (1 - q^2) = 1,8,
9 - 18q + 9q^2 = 1,8 - 1,8q^2,
9 - 18q + 9q^2 = 1,8 - 1,8q^2,
9 - 18q + 9q^2 + 1,8q^2 - 1,8 = 0,
10,8q^2 - 18q - 7,2 = 0,
(q - 1,2)(10,8q + 6) = 0.

Таким образом, либо q = 1,2, либо q = - 0,5556.

Если q = 1,2, то подставляем его обратно в уравнение a = 3 - 3q, и получаем a = -0,6.

Если q = - 0,5556, то подставляем его обратно в уравнение a = 3 - 3q, и получаем a = 4,6668.

Итак, первый член и знаменатель прогрессии (bn) равны либо a = -0,6 и q = 1,2, либо a = 4,6668 и q = - 0,5556.