Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции y＝2x-x^2 касательной к графику в его точке с абциссой 2 и осью координат

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точку касания касательной к графику функции y＝2x-x^2 в точке с абсциссой 2.
Производная данной функции равна y' = 2 - 2x.
Теперь найдем уравнение касательной в точке с абсциссой 2.
y - y1 = y'(x - x1), где (x1, y1) - точка касания.
Подставляем x1 = 2 и y1 = 22 - 2^2 = 4 - 4 = 0.
y - 0 = (2 - 22)(x - 2),
y = -2x + 4.

Найдем точки пересечения полученной касательной с осями координат:

Теперь найдем площадь фигуры ограниченной графиком функции, касательной и осями координат.

Очевидно, что данная фигура представляет собой треугольник со сторонами, параллельными осям координат. Основание треугольника равно 2 (расстояние между пересечениями с осями координат), а высота равна 4 (по модулю координаты y в точке пересечения с осью OY).

Площадь треугольника равна S = 0.5 b h = 0.5 2 4 = 4.

Таким образом, площадь фигуры ограниченной графиком функции, касательной и осями координат равна 4.