Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна a, а один из углов — 60°. Найдите площадь трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основания равнобедренной трапеции равны a и b, а высота равна h.

Так как трапеция описана около окружности, её диагонали являются диаметрами этой окружности. Таким образом, диагонали равны a и b.

По теореме косинусов для треугольника ABC, где A и B — вершины равнобедренной трапеции, а C — середина отрезка AB, получаем:
a^2 = h^2 + (b/2)^2 - 2 h (b/2) * cos(60°)

a^2 = h^2 + b^2/4 - hb * cos(60°)

a^2 = h^2 + b^2/4 - (hb * 1/2)

a^2 = h^2 + b^2/4 - hb/2

h^2 = a^2 + b^2/4 - hb/2

Так как трапеция равнобедренная, h равна половине разности диагоналей:
h = (a - b)/2

Таким образом, подставляя это значение в полученное уравнение, получаем:
(a - b)^2 /4 = a^2 + b^2 /4 - (ab)/2

Решив это уравнение, найдем:
a^2 - 2ab + b^2 = 4a^2 + b^2 - 2ab

3a^2 = 2ab

a = 2b/3

Теперь можем найти высоту h:
h = (a - b)/2 = (2b/3 - b)/2 = b/6

Теперь можем найти площадь трапеции:
S = (a + b) h / 2 = (2b/3 + b) b/6 = b^2 /2

Таким образом, площадь трапеции равна b^2 / 2.