Задача по геометрии! Требуется помощь! В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) вписана окружность и к окружности проведена касательная параллельная стороне AC и пересекающая стороны AB и BC соответственно в точках D и E. Найдите длину отрезка DE и радиус окружности, описанной около четырехугольника ADEC, если AD=15 см, BD=30см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, за r. Так как треугольник ABC равнобедренный, то биссектриса угла при вершине будет являться медианой и высотой, следовательно, точка касания окружности с стороной AC будет являться серединой стороны AC. Таким образом, точка касания окружности с стороной AC будет также являться серединой отрезка DE.

Поскольку DE параллельна стороне AC, угол ADE равен углу ADC, следовательно, треугольники ADE и ADC подобны. Так как точка касания окружности с стороной AC является серединой отрезка DE, то отношение сторон в этих треугольниках равно отношению сторон AD и DC:

DE/AD = DC/AC

DE/15 = r/(2r) = 1/2

DE = 15/2 = 7.5 см

Теперь найдем радиус окружности, описанной около четырехугольника ADEC. Для этого воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности в четырехугольнике: R = (ADBC)/(2Area(ABD)), где Area(ABD) - площадь треугольника ABD.

Area(ABD) = (BCBDsin(ADB))/2 = (2r30sin(45))/2 = r15sqrt(2)/2

R = (1530)/(2r15sqrt(2)/2) = 30/(r*sqrt(2))

Так как DE является диаметром описанной окружности, то R = DE/2 = 7.5/2 = 3.75 см

Исходя из этого, получаем, что радиус окружности, описанной около четырехугольника ADEC, равен 3.75 см.